Existen 10 tipos de personas...

La semana pasada, navegando por internet, me encontré con una frase supuestamente cómica que decía así:
  

"Existen 10 tipos de personas: Las que saben binario, y las que no."

Aquellos que sepan un poco de matemática o de computación probablemente entiendan esta frase, y hasta les cause cierta gracia. Por el otro lado van a estar las personas que dicen simplemente: "No entendí".
Con un poco de suerte, para el final de la nota, a todos nos va a causar gracia la frase.

1. ¿Por qué el número diez es tan fácil?

 

Diría que es sabido y natural para todos que trabajar con el número diez es muy sencillo. Déjenme explicarme:

Sumarle 10 a un número es casi instantáneo...
1435 + 10 = 1445             (Sumo 1 a la segunda cifra empezando por la derecha)

Ni hablar de multiplicar por 10...
39 x 10 = 390                   (Agrego un 0 detrás del ultimo número)

¿Pero qué tiene el diez? ¿Es un número divino o fantástico? Además, como si fuera poco... ¡ los seres humanos tenemos por lo general 10 dedos en las manos en total ! ¡ Justo nuestra herramienta más fácil de usar a la hora de contar ! ¡ Increíble ! ¡ Qué casualidad ! 

No se a ustedes, pero a mi, las casualidades increíbles me hacen sospechar.

Hagamos un juego, supongamos que en Marte, los marcianos conocen los símbolos del 0 al 8 pero el 9 no, nunca se inventó, si algún marciano lo viera diría que es un 6 al revez, nada más. Ojo, no es que no conozcan el número nueve. El número nueve sería, al igual que en la Tierra, el que le sigue al 8.

Bueno, entonces empecemos a contar en Marte:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.... No no, ¡ me equivoqué ! el 9 no lo conocen. Empecemos otra vez:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, ...     (*)

Ahí está mejor, fíjense que nos salteamos el 9 y el 19, y, si siguiéramos, nos saltearíamos el 29, 39, etc...

Pero, si un marciano tuviera nueve caramelos en la mano, ¿ cómo lo escribiría ?
Bien, si tiene nueve caramelos tendría que escribir "Tengo 10 caramelos en la mano.", porque, si se fijan en el sistema marciano, 10 es el noveno número. De la misma manera, si tiene diecinueve caramelos tendría que escribir "Tengo 21 caramelos.", y si tuviera dieciocho sería "Tengo 20 caramelos.". Quizas parezca confuso al principio, pero no se preocupen... Realmente lo es. Sin embargo, si siguen la tablita con el (*) se les va a hacer más fácil.

Hagamos algunas cuentas con el número nueve en la Tierra y en Marte:
En la Tierra: 4 + 9 = 13
En Marte, la misma cuenta sería : 4 + 10 = 14

En la Tierra: 7 x 9 = 63
En Marte, la misma cuenta sería: 7 x 10 = 70

En la Tierra:  9 x 9 = 81
En Marte, la misma cuenta sería 10 x 10 = 100

Notarán que operar con el numero nueve en Marte es mucho más cómodo que en la Tierra. Para los marcianos, el número nueve es fascinante, divino, fantástico y todo lo demás, pero para nosotros es, de hecho, un número bastante molesto. ¿Qué fue lo que cambió?

La única diferencia entre los marcianos y nosotros es que usamos un sistema de numeración diferente. Nosotros usamos un sistema en base diez, y ellos un sistema en base nueve. Esto quiere decir que nosotros, para expresar cualquier número, por grande que sea, hacemos una combinación de diez símbolos, estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por el otro lado, los marcianos, para expresar cualquier número, por grande que sea, usan nueve símbolos, estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Recuerden que los marcianos escriben el nueve como 10, y el diez como 11.

Para ellos, el número diez (11) es muy molesto a la hora de hacer cuentas, el diez, para los marcianos, es horrible. Sin embargo, el número sencillo es el nueve.


2. ¿ Y la frase del principio ?

La frase del principio está escrita usando el sistema binario, es decir el sistema que usa sólo dos símbolos, el 0 y el 1 para representar cualquier número. Si empezamos a contar en sistema binario nos quedaría algo así:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000...

Teniendo esto en cuenta, si releemos la frase...

 "Existen 10 tipos de personas: Las que saben binario, y las que no."

... ¿se entendió?

Hagamos una reflexión. Al viajar a nuestro planeta vecino, nos dimos cuenta que nuestro 10 (diez) no es realmente un número tan mágico. Es mágico para nosotros simplemente por nuestra manera de contar, por nuestra organización. El número en sí es tan lindo y tan feo como todos los demás.
Lo que sí podemos afirmar entonces, es que operar con el primer número que se representa con dos cifras es muy fácil para todos los sistemas. El diez para nosotros, el nueve para los marcianos, y el dos para los que usan binario.

Después de todo, algo que parecía tan natural, tan verdadero e incuestionable como la facilidad del diez se desploma apenas cambiamos nuestro punto de vista. Apenas empezamos a ver las cosas como las vería un marciano.

El problema de las canicas y la balanza: Parte II

Por ahora sólo voy a responder la segunda pregunta del problema anterior: 
¿Se puede encontrar la canica liviana usando la balanza sólo 2 veces?
Sí, pero ... ¿Cómo?

¿Por qué cuesta resolver acertijos?

Esta pregunta parece un tanto dificil de responder, y, en verdad, quizas asi sea. Sin embargo, sólo me estoy refiriendo al tipo de acertijos como el de las canicas y la balanza. Acertijos en los cuales no hay "trampas", no hay que recurrir a explicaciones extravagantes, ni a conocimientos avanzados, aun así muchas veces nos resultan dificiles. Es verdad que requieren que a uno "se le ocurra" la solución, pero, por lo general, hay algo que hace que nos cuesten más ¿Por qué?

- Nos cuestan más porque nuestro cerebro se apura.

- ¿Cómo que se apura?

Se apura. Nuestra mente tiende siempre a dar por sentados muchos detalles que parecerían menores, de esta manera se puede ser más eficiente en la inmensa mayoría de los casos cotidianos. Imagínense cómo sería si cada vez que fuéramos a sentarnos en una silla, nos tuviéramos que asegurar que sus patas estén en buen estado para que nos pueda soportar. O si cada vez que prendemos el televisor, o la computadora, nos tuviéramos que fijar si está conectada. ¡ Se perdería mucho tiempo ! Nuestro cerebro "sabe" eso, por eso da por sentado que la silla nos aguantará y que el televisor o la computadora están conectados.

Este es el punto débil de nuestros razonamientos, muchos acertijos atacan justamente este punto.

El caso de las canicas y la balanza.

Este acertijo ataca, muy sutilmente, un detalle que la mente suele dar por sentado incorrectamente. El detalle puede no ser crucial, pero sí condiciona nuestros razonamientos.

Aprovecho ahora para responder la primera pregunta. ¿Cómo se puede hacer para encontrar la canica usando la balanza 3 veces?

El que haya intentado resolverlo, probablemente llegó a que, efectivamente, se puede encontrar la canica liviana usando la balanza 3 veces. Intuyo aventuradamente que el lector pensó que si tenemos 8 canicas podemos separarlas en dos grupos de 4, pesarlos, quedarnos con el grupo más liviano (el que tiene la canica más liviana), separarlo en 2 grupos de 2, pesarlos, quedarnos con el más liviano, y por último pesar las últimas dos canicas.

 De esta manera, dividiendo en 2 grupos de canicas y siempre descartando uno, llegamos a la canica liviana en 3 pasos.

Pero... ¿En qué momento nuestra mente se está apurando?

Se apura cuando asocia la balanza con sólo 2 posibles resultados y de ahí viene que tendamos a separar en 2 grupos siempre. Asume que si pesamos dos grupos de canicas, el primero es más liviano que el segundo o viceversa ¡ Pero ese razonamiento es incompleto ! La balanza nos puede dar 3 resultados: que un grupo sea más liviano que el otro, que el otro sea más liviano que el primero, o que pesen lo mismo.

Invito a quienes lean esto a tomarse unos minutos para repensar el problema teniendo en cuenta que la balanza de brazos nos puede dar tres posibles resultados, no dos. Es verdad, todavía se nos "tiene que ocurrir" la solución... pero al menos ahora nuestro cerebro no nos juega en contra.


    

El problema de las canicas y la balanza: Parte I

Hace ya varios meses, estaba tomando mates y charlando en casa con unos amigos cuando encontramos un librito vejuzco y amarronado que tenía como título "Juegos de Ingenio". Era uno de esos tantos libros llenos de pequeños acertijos cortitos y, como era domingo y no teníamos nada muy imporante que hacer, nos pusimos a leer algunos. La mayoría eran poco interesantes y nos aburrimos rápidamente, pero antes de cambiar de tema, alguien leyó uno que me pareció bastante ingenioso y un tiempo después me tomé el (agradable) trabajo de reflexionarlo y finalmente reformularlo para que sea un poco más divertido.

Balanza de brazos. Compara los pesos de lo que pongamos de cada lado pero no nos dice cuánto pesa.

El acertijo

Hay, sobre una mesa, una balanza de brazos y 8 canicas idénticas salvo porque una de las 8 es apenas un poco más liviana que las demás (tan poca es la diferencia de peso que se nos haría imposible encontrar la más liviana sólo con nuestras manos).

¿Cómo se puede hacer para encontrar la canica liviana con %100 de certeza usando la balanza sólo 3 veces? ¿Se la puede encontrar usándola 2 veces? ¿Qué pasa si tengo 9 canicas en vez de 8?

Probando Suerte: el Quini 6

Me atrevo a suponer que el lector sabe, o al menos intuye, que si tira una moneda al aire tiene %50 de probabilidad de que salga cara y %50 de que salga ceca, y que si le pido que adivine el número que estoy pensando entre 1 y 10 tiene un %10 de acertar.

Sentadas esas bases, paso a comentar lo que estuve pensando:

El Quini 6 es un conocido juego de lotería en que, para jugarlo, uno debe comprar un billete (de unos $3 o $4) que contiene 6 números entre el 0 y el 45. Unos días después se sortean 6 números al azar, las personas que en su billete tengan los números que salieron sorteados ganan el primer premio que suele ser alrededor de $4.000.000. Una cifra bastante tentadora sin duda. Quizas a primera vista no parezca tan dificil acertar a los 6 números que salen sorteados pero sí lo es: 1 en 9.366.819. O mejor dicho algo así como %0,00001...

Pero mi intención no es mostrar esto, ya que es información que se puede encontrar fácilmente en internet. Mi intención es hacer entender realmente cuán dificil es ganar el primer premio del Quini 6 y, es más, entender cuánta "suerte" tienen los pocos que ganan.

 ¿Cómo hacer para aumentar las chances?

Es natural (y correcto) pensar que si me propongo jugar al Quini 6 todos los meses desde hoy hasta dentro de un año, voy a tener mejores probabilidades de ganar al cabo de ese año que si juego sólo una vez. Generalizando este pensamiento, mientras más veces juegue más chances voy a tener de ganar alguna vez. ¡Fantástico! Entonces ¿cuántas veces necesitaría jugar para tener un porcentaje decente de probabilidades de ganar?

Bueno, supongamos que por "porcentaje decente" me refiero a un %50 de probablidades. Parece potable ¿no?

Acá es donde los números, y más precisamente las probabilidades, hacen que nuestra muy amada intuición falle escandalosamente.

Supongamos que decido jugar cada mes, es decir, me hago un plan para ir el primer día de cada mes a comprar un billete de Quini6. Para tener una probabilidad de %50 de ganar (las mismas que acertarle a la cara de una moneda) debería jugar durante... ¡ 541.666 años !

Bueno a ver, probemos algo más extremo. Supongamos entonces que juego todos los días de la semana, 7 días incluyendo feriados, carnavales y demás. Nuevamente, para tener una probabilidad de ganar de %50 debería jugar durante... ¡ 17.808 años ! ¡ Más de 4 veces la antigüedad de las pirámides de Egipto ! Además, en total, tendría que jugar unas 6.500.000 veces. Si el precio del billete no cambiara de valor serían unos $19.500.000 (mucho más que el premio mayor).






... Todo para tener las mismas chances que tirar una moneda y que salga cara...

...Y que todavía pueda salir ceca.