Cartas que traicionan

Cartas que traicionan

Le propongo al lector el siguiente juego, que a su vez propone al jugador un desafío qué pasaré a contar después.
El juego es así:

Tomo un mazo de cartas y el jugador elije una, supongamos que es el 1 de picas (en el caso de un mazo de cartas de poker). Ahora pregunto, ¿cuántas veces tengo que mezclar hasta que el 1 de picas quede primera en el mazo?

Desde ya aclaro que no hay una respuesta segura. Esto, después de todo, es un juego de azar.

Si el jugador dice dos, entonces está apostando a que yo mezclo, muestro la primer carta, no es el 1 de picas, vuelvo a meter en el mazo la carta que di vuelta, mezclo denuevo, muestro la primer carta y es efectivamente el 1 de picas.
Si el jugador dice treinta, está apostando a que las primeras 29 veces la carta elegida no está en la primera posición, pero luego de la trigésima mezclada sí es la primer carta.

Hagamos un ejemplo:
Fran juega con Luciana, Fran mezcla y Luciana apuesta.
1) Luciana elije el 3 de trébol y apuesta a que sale en la 5 vuelta.
2) Fran mezcla, muestra la primer carta: 2 de diamantes.
3) Fran mezcla, muestra la primer carta: 9 de trébol.
4) Fran mezcla, muestra la primer carta: Q de corazones.
5) Fran mezcla, muestra la primer carta: 1 de picas.
6) Fran mezcla, muestra la primer carta: 5 de picas.

Luciana perdió porque en la quinta vez salió un 5 de picas y no un 3 de trébol. Observemos que si el 3 de trébol salía en la cuarta, tercera, segunda o primera vez, Luciana también habría perdido, porque ella apuesta a que sale exactamente en la quinta vuelta.

Está claro que este juego es difícil de ganar, pero no imposible. Y la pregunta que propone es...

¿Existe alguna estrategia o forma de maximizar (o minimizar) las chances de ganar en este juego?

Nota: Si el lector tiene interés, le comento que un mazo de cartas de poker dispone de 52 cartas, y uno de naipes españoles cuenta con 48.

Pensando Pi

Pensando Pi

Creo que podemos ponernos de acuerdo en que dibujar un círculo a mano alzada es una tarea muy difícil. Siempre sobra un poquito de allá y falta un poco de acá, resultando en una figura medio deforme y muy alejada de lo que uno tenía en mente.

Quizás la característica más importante de los círculos es que si uno toma su circunferencia y la divide por su diámetro va a obtener siempre un número en particular sin importar el tamaño del círculo. Ese numerito es Pi.

Lo interesante es que aunque esta propiedad es conocida desde hace miles de años, no se conoce exactamente cuál es ese número Pi.
Legiones de pensadores y matemáticos de la antigüedad han ajustado sus mediciones y han propuesto distintos valores. Algunos decían 3,125, otros 3,16 ó 3,22. Incluso en la escuela quizás nos hayan enseñado que Pi es 3,1416 pero eso tampoco es cierto. Lo que sí es cierto es que Pi resulta ser un número bastante escurridizo.

Durante cientos de años, los matemáticos se han topado con el problema de calcular con mayor exactitud este número. Alrededor del 1800 A.C los egipcios aproximaban Pi como 3,16 mientras que los pueblos mesopotámicos usaban el 3,125. Por otro lado, en el Antigüo Testamento existe evidencia de que el pueblo hebreo de esa época aproximaba directamente por el número 3. ¡Para qué molestarse tanto!

Pasaron los egipcios, los babilonios, los griegos, los romanos y los chinos con sus intentos por encontrarlo pero fracasaron. Pi era algo demasiado fino para que sus manos lo pudieran agarrar sin que se les escurriera entre los dedos. Pi era algo que no se habían imaginado.

Pi era irracional.

Fue recién en el siglo XVIII que Johann Heinrich Lambert probó que Pi no podía ser expresado como una división de dos números enteros. Como consecuencia, este número tiene un desarrollo decimal infinito, es decir que sus dígitos detrás de la coma no terminan nunca. Y nunca es nunca. Esto tiraba automáticamente por tierra todos los intentos de sus antepasados por encontrarlo, ya que todos ellos habían propuesto números con desarrollo finito o, justamente, división de dos enteros; por ejemplo: 3,125 ó 22/7.

Hoy por hoy existen computadoras que se pasan día y noche haciendo cuentas para llegar a nuevos decimales del mismo, así que lo que hace casi 4000 años los egipcios aproximaban con 3 o 4 dígitos, ahora nosotros lo manejamos con 10.000.000.000.000 símbolos de longitud.

Algunos científicos cuestionan la utilidad de tener semejante cantidad de decimales ya que sólo una decena de dígitos son suficientes para hacer cálculos físicos de gran exactitud y predicciones probabilísticas fiables. Incluso se afirma que con tan solo 39 dígitos se tiene lo necesario como para calcular el volumen total de todo el universo conocido con la precisión de tan sólo un átomo...

... pero uno nunca sabe ¿no?

Verduleros y Matemáticos: ¿Cómo apilar naranjas?

Hace ya unos días, pasé a comprar algo de fruta por una verdulería cerca de casa y noté que el verdulero había hecho una de estas elegantes "pirámides" de fruta. Esta vez con naranjas.

No me pregunten por qué, pero en mi vuelta a casa me quedé pensando en cuánto espacio libre entre naranja y naranja - parecían estar bastante apretadas - quedaría en esa pirámide. Luego esto me llevó a darme cuenta que, en sus cajas de verduras, los verduleros acomodan la fruta de esa misma manera, pero lo hacen en forma de cubo en vez de pirámide, simplemente porque las cajas tienen forma cúbica, no piramidal.

- "¿Será esa la mejor forma de aprovechar el espacio dentro de la caja? ¿Habrá alguna mejor?" - Me pregunté.

Tengo que admitir que una vez que llegué a casa me olvidé completamente del asunto. Pero un par de días después me acordé y me puse a buscar algo de información al respecto, y, para mi sorpresa, no sólo encontré algo, sino que encontré muchísimo acerca del tema. Parece que el problema ya lo había formulado Johannes Kepler, uno de los mayores exponentes de la teoría heliocéntrica, ¡estamos hablando del siglo XVII! ¡Hace unos 300 años! Kepler dijo que la forma de agrupar esferas (o naranjas) que menos espacio ocupa es justamente la que usan los verduleros, el problema estaba en que nunca lo demostró. Por eso tomó el nombre de Conjetura de Kepler y no Teorema de Kepler. Pasaron alrededor de 300 años en los cuáles la Conjetura de Kepler no fue más que eso. Una conjetura. Hasta que llegó el año 1998.

En esta escalofriante década caracterizada por extraños peinados, cassetes y "novedosos" electrodomésticos, un matemático trabajaba diligentemente en el complicado problema de... ehmm... bueno... de cómo apilar naranjas (entre nosotros). Resulta que este señor se llama Thomas Hales, es profesor de Matemáticas en la Universidad de Michigan y pudo demostrar que los verduleros siempre tuvieron razón. ¡La mejor manera de apilar las naranjas es como lo hacen ellos! Cabe señalar que algo que parece tan trivial como esto, le tomo 10 años de trabajo a Hales y la demostración consta de 250 páginas y una enorme cantidad de simulaciones por computadora.

Esto pasaba hace menos de 20 años...

Hales demostró que la forma más eficiente de empaquetar naranjas (o mejor dicho esferas) es exactamente la que usan los verduleros.

El tema se conoce como empaquetamiento de esferas, y constituye un tema de vital importancia en el entendimiento de las estructuras químicas. Es decir, de cómo se agrupan los átomos y moléculas. Además se usa en el campo de la electrónica, en el almacenaje eficaz de datos y en la teoría de comunicaciones entre computadoras.

Ahora cada vez que paso por una verdulería y veo una de éstas pirámides veo un circuito integrado, veo el modem que me conecta a Internet, veo a un químico haciendo un nuevo descubrimiento sobre nanotecnología...

Anotaciones de Johanne Kepler

...veo a Kepler dibujando naranjas en un amarillento cuaderno de anotaciones ilegibles.

 La Falacia del Jugador

Imaginemos la siguiente situación.

Entramos a un casino, luego de tomar algo y dar una vuelta nos sumamos a una mesa de ruleta. Quizás sepan que hay muchas formas distintas de apostar en un juego de ruleta, pero, para hacerla fácil vamos a jugar sólo a color. ¿Qué significa esto?

En la mesa de ruleta hay 37 números que van desde el 0 al 36. Cada número salvo el 0 tiene un color (ROJO o NEGRO). Jugar a color significa apostar a que sale un número ROJO o un número NEGRO y la apuesta es de tipo 1:1, es decir, que si uno gana con esta apuesta se le dará una ficha por cada una que apostó.

Bueno, entonces decíamos que íbamos a jugar a color, pero antes de jugar vemos que en un panel se muestran los últimos 15 números que salieron con su respectivo color. Resulta que 13 de las 15 veces salió un número NEGRO, una vez salió el 0, y una vez salió un número ROJO.

Le pregunto ahora al lector: ¿Apostarías a NEGRO o a ROJO? ¿Por qué?

Te invito a que te tomes un tiempo antes de seguir leyendo para pensar un poco en esta pregunta.


¿Ya pensaste...?
.
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¿...Seguro?
 .
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Bueno... Quizás haya gente que responda que es más probable que salga un número NEGRO porque ya salió muchas veces. Quizás haya gente que piense que es conveniente apostar a un número ROJO porque la cantidad de veces que sale NEGRO y ROJO debería tender a equilibrarse.


Si vos respondiste alguna de estas dos...

¡Felicitaciones! ¡Sos una víctima de la "Falacia del Jugador"!

Cuando vemos una mesa de casino (y si aceptamos que el proceso de elección del número ganador es aleatorio al menos desde el punto de vista del jugador), podemos entender que hay 37 números, 18 son NEGROS y 18 son ROJOS, entonces nuestra probabilidad de que salga el color que nosotros elegimos es 18 dividido 37, o dicho de otra manera algo así como %48.

Esto quiere decir que mientras más veces jugamos, si multiplicamos 100 x el numero de veces que ganamos dividido el numero total de jugadas, nos va a dar parecido a %48. Observemos que no es lo mismo que decir que la diferencia entre la cantidad de jugadas ganadoras y la cantidad de jugadas perdedoras va a decrecer. Para esto, veamos un par de ejemplos:

Supongamos que jugamos a NEGRO (N) siempre y sale esta serie de resultados:

R-R-0-N-R

Veamos la diferencia entre jugadas ganadoras y perdedoras. Son 4 jugadas perdedoras contra 1 ganadora: Ganadoras - Perdedoras = 1 - 4 = -3.
El porcentaje de ganadoras es: 100 x ganadoras/total = 100 x 1 / 5 = %20

Hagamos 5 jugadas más...

R-R-0-N-R-N-R-N-R-R

Diferencia entre ganadoras y perdedoras: 3 - 7 = -4
Porcentaje de ganadoras: 100 x ganadoras / totales = 100 x 3 / 10 = %30

...Juguemos 10 veces más...

R-R-0-N-R-N-R-N-R-R-N-R-N-R-R-N-R-R-N-R

Diferencia entre ganadoras y perdedoras: 7 - 13 = -6
Porcentaje de ganadoras: 100 x ganadoras / totales = 100 x 7 / 20 = %35

Fijense que lo que nos indica cuánta plata perdemos o ganamos es la diferencia entre ganadoras y perdedoras que, en este caso, nos hizo perder cada vez más plata. Sin embargo, ¡ el porcentaje de jugadas ganadoras fue aumentando ! 

Dicho de otra manera, 
A lo largo de las 20 jugadas, fuimos perdiendo cada vez más plata, ¡pero nuestro porcentaje de jugadas ganadoras fue aumentando !
Es más, lo esperable es que el porcentaje de jugadas ganadoras se acerque a %48, pero nos dice poco sobre la diferencia entre jugadas ganadoras y perdedoras, que es lo que en definitiva nos importa.

Entonces notemos que no son lo mismo:
a) La diferencia entre cantidad de jugadas ganadoras y cantidad de jugadas perdedoras.
b) El porcentaje de jugadas ganadoras con respecto al total de jugadas.

El caso más común de falacia del jugador sucede justamente si no se reconoce la diferencia entre a) y b).

Antes de terminar la nota me voy a tomar la libertad de compartir una pregunta que a mi me resulta fascinante:

¿Por qué la probabilidad y la estadística describen tan bien a nuestro entorno?