24 de agosto de 2014

El barbero de Russell

El barbero de Russell



Si uno quiere hacerse cortar el pelo en Buenos Aires o cualquier otra gran ciudad y no sabe dónde hay una peluquería, no tiene más que salir a la calle, caminar algunas cuadras y sin lugar a dudas encontrará una. Pero si uno está en un pueblo las opciones son menos, y encontrar un lugar apropiado requiere que le preguntemos a alguna otra persona que conozca el lugar si no es que queremos caminar en vano.

La siguiente historia cuenta sobre un pueblo diminuto en un lugar y tiempo muy lejano que, para colmo, contaba con sólo un barbero para todos los habitantes.

Por más que el pueblo fuera chico, este barbero tenía mucho trabajo y era común que sus clientes se acumularan en la entrada a esperar su turno para ser atendidos. Esto era cosa de todos los días, pero el problema surgió cuando el mismísimo jefe del pueblo decidió pasear por las calles y hacerse cortar el pelo allí. En la única barbería. 

Ese día, como muchos otros, el pobre peluquero trabajaba sin descanso y no pudo evitar hacer esperar a los demás clientes... sin excepción. 
¡Qué barbaridad! ¡El jefe del pueblo tuvo que perder unos 15 minutos de su vida esperando a ser atendido! 
Lo cierto es que, por más malcriado que fuera este señor, no era un mal hombre, y entendía que la culpa no era de la gente y mucho menos del pobre barbero que trabajaba desde la mañana hasta la noche, así que ese mismo día decretó la siguiente ley:

''Los habitantes que sepan cortarse el pelo a sí mismos deberán hacerlo. El barbero sólo cortará el pelo de los que no puedan hacerlo ellos mismos.''

En un principio todo estuvo bien. El pueblo estaba claramente dividido en quienes sabían ocuparse de su propio mantenimiento y los que no. La gente ya no tenía que hacer largas colas para hacerse atender por el barbero y todos disfrutaron de esta nueva organización.

El tiempo pasó y un día nuestro querido peluquero se dió cuenta que tenía ya el pelo muy largo. Pero él era un hombre de ley y quería respetar la nueva norma, pero se sobresaltó al preguntarse lo siguiente:

- ¿Quién ha de cortarme el pelo a mí?



Para él, el problema era muy claro. Según la nueva ley, él debía cortarle el pelo unicamente a las personas que no podían hacerlo por sí mismas, mientras que los demás debían hacerlo ellos mismos.

Si el barbero sabía atenderse a sí mismo, entonces él se lo debía cortar. Pero él mismo era el barbero entonces sólo le cortaría a personas que no saben cortarse a sí mismas. Por otro lado, si supusiera que él no sabe cortarse el pelo, entonces el barbero (o sea él mismo) debería cortarle el pelo, pero entonces él sabría como cortarse el pelo, llegando a una contradicción.

Este problema se conoce popularmente como "La paradoja del barbero".

Es claro que el problema se resolvería sencillamente agregándole a la ley una nueva línea que aclarara que el caso del barbero era excepcional y que él debía cortarse a sí mismo el pelo a pesar de que sepa cortarse a sí mismo el pelo... por más extraño que suene. Pero la ídea detrás del cuento es más profunda que sólo cómo resolver este problema cotidiano.

La paradoja del barbero es una forma sencilla de entender un problema que observó el matemático Bertrand Russell con respecto a la teoría que estaba apunto de publicar su colega Georg Cantor. El enunciado formal de Russell hablaba de conjuntos en vez de personas y de relaciones de pertenencia en vez de cortes de pelo pero escencialmente eran lo mismo.

Cantor terminó revisando su teoría de conjuntos y superando este problema del barbero de una manera elegante pero, después de todo, viendo la foto de ambos señores me queda la duda de si todo este problema del peluquero tendría algo que ver con...
Bertrand Russell...
... y Georg Cantor


...los pelos de sus cabezas, ¿no?.







10 de febrero de 2014

Cartas que traicionan

Cartas que traicionan



Le propongo al lector el siguiente juego, que a su vez propone al jugador un desafío qué pasaré a contar después.
El juego es así:

Tomo un mazo de cartas y el jugador elije una, supongamos que es el 1 de picas (en el caso de un mazo de cartas de poker). Ahora pregunto, ¿cuántas veces tengo que mezclar hasta que el 1 de picas quede primera en el mazo?

Desde ya aclaro que no hay una respuesta segura. Esto, después de todo, es un juego de azar.

Si el jugador dice dos, entonces está apostando a que yo mezclo, muestro la primer carta, no es el 1 de picas, vuelvo a meter en el mazo la carta que di vuelta, mezclo denuevo, muestro la primer carta y es efectivamente el 1 de picas.
Si el jugador dice treinta, está apostando a que las primeras 29 veces la carta elegida no está en la primera posición, pero luego de la trigésima mezclada sí es la primer carta.

Hagamos un ejemplo:
Fran juega con Luciana, Fran mezcla y Luciana apuesta.
1) Luciana elije el 3 de trébol y apuesta a que sale en la 5 vuelta.
2) Fran mezcla, muestra la primer carta: 2 de diamantes.
3) Fran mezcla, muestra la primer carta: 9 de trébol.
4) Fran mezcla, muestra la primer carta: Q de corazones.
5) Fran mezcla, muestra la primer carta: 1 de picas.
6) Fran mezcla, muestra la primer carta: 5 de picas.

Luciana perdió porque en la quinta vez salió un 5 de picas y no un 3 de trébol. Observemos que si el 3 de trébol salía en la cuarta, tercera, segunda o primera vez, Luciana también habría perdido, porque ella apuesta a que sale exactamente en la quinta vuelta.

Está claro que este juego es difícil de ganar, pero no imposible. Y la pregunta que propone es...

¿Existe alguna estrategia o forma de maximizar (o minimizar) las chances de ganar en este juego?



Nota: Si el lector tiene interés, le comento que un mazo de cartas de poker dispone de 52 cartas, y uno de naipes españoles cuenta con 48.

14 de octubre de 2013

Pensando Pi

Pensando Pi

Creo que podemos ponernos de acuerdo en que dibujar un círculo a mano alzada es una tarea muy difícil. Siempre sobra un poquito de allá y falta un poco de acá, resultando en una figura medio deforme y muy alejada de lo que uno tenía en mente.

Quizás la característica más importante de los círculos es que si uno toma su circunferencia y la divide por su diámetro va a obtener siempre un número en particular sin importar el tamaño del círculo. Ese numerito es Pi.

Lo interesante es que aunque esta propiedad es conocida desde hace miles de años, no se conoce exactamente cuál es ese número Pi.
Legiones de pensadores y matemáticos de la antigüedad han ajustado sus mediciones y han propuesto distintos valores. Algunos decían 3,125, otros 3,16 ó 3,22. Incluso en la escuela quizás nos hayan enseñado que Pi es 3,1416 pero eso tampoco es cierto. Lo que sí es cierto es que Pi resulta ser un número bastante escurridizo.

Durante cientos de años, los matemáticos se han topado con el problema de calcular con mayor exactitud este número. Alrededor del 1800 A.C los egipcios aproximaban Pi como 3,16 mientras que los pueblos mesopotámicos usaban el 3,125. Por otro lado, en el Antigüo Testamento existe evidencia de que el pueblo hebreo de esa época aproximaba directamente por el número 3. ¡Para qué molestarse tanto!

Pasaron los egipcios, los babilonios, los griegos, los romanos y los chinos con sus intentos por encontrarlo pero fracasaron. Pi era algo demasiado fino para que sus manos lo pudieran agarrar sin que se les escurriera entre los dedos. Pi era algo que no se habían imaginado.

Pi era irracional.

Fue recién en el siglo XVIII que Johann Heinrich Lambert probó que Pi no podía ser expresado como una división de dos números enteros. Como consecuencia, este número tiene un desarrollo decimal infinito, es decir que sus dígitos detrás de la coma no terminan nunca. Y nunca es nunca. Esto tiraba automáticamente por tierra todos los intentos de sus antepasados por encontrarlo, ya que todos ellos habían propuesto números con desarrollo finito o, justamente, división de dos enteros; por ejemplo: 3,125 ó 22/7.

Hoy por hoy existen computadoras que se pasan día y noche haciendo cuentas para llegar a nuevos decimales del mismo, así que lo que hace casi 4000 años los egipcios aproximaban con 3 o 4 dígitos, ahora nosotros lo manejamos con 10.000.000.000.000 símbolos de longitud.

Algunos científicos cuestionan la utilidad de tener semejante cantidad de decimales ya que sólo una decena de dígitos son suficientes para hacer cálculos físicos de gran exactitud y predicciones probabilísticas fiables. Incluso se afirma que con tan solo 39 dígitos se tiene lo necesario como para calcular el volumen total de todo el universo conocido con la precisión de tan sólo un átomo...



... pero uno nunca sabe ¿no?

19 de mayo de 2013

Verduleros y Matemáticos: ¿Cómo apilar naranjas?




Hace ya unos días, pasé a comprar algo de fruta por una verdulería cerca de casa y noté que el verdulero había hecho una de estas elegantes "pirámides" de fruta. Esta vez con naranjas.

No me pregunten por qué, pero en mi vuelta a casa me quedé pensando en cuánto espacio libre entre naranja y naranja - parecían estar bastante apretadas - quedaría en esa pirámide. Luego esto me llevó a darme cuenta que, en sus cajas de verduras, los verduleros acomodan la fruta de esa misma manera, pero lo hacen en forma de cubo en vez de pirámide, simplemente porque las cajas tienen forma cúbica, no piramidal.

- "¿Será esa la mejor forma de aprovechar el espacio dentro de la caja? ¿Habrá alguna mejor?" - Me pregunté.


Tengo que admitir que una vez que llegué a casa me olvidé completamente del asunto. Pero un par de días después me acordé y me puse a buscar algo de información al respecto, y, para mi sorpresa, no sólo encontré algo, sino que encontré muchísimo acerca del tema. Parece que el problema ya lo había formulado Johannes Kepler, uno de los mayores exponentes de la teoría heliocéntrica, ¡estamos hablando del siglo XVII! ¡Hace unos 300 años! Kepler dijo que la forma de agrupar esferas (o naranjas) que menos espacio ocupa es justamente la que usan los verduleros, el problema estaba en que nunca lo demostró. Por eso tomó el nombre de Conjetura de Kepler y no Teorema de Kepler. Pasaron alrededor de 300 años en los cuáles la Conjetura de Kepler no fue más que eso. Una conjetura. Hasta que llegó el año 1998.

En esta escalofriante década caracterizada por extraños peinados, cassetes y "novedosos" electrodomésticos, un matemático trabajaba diligentemente en el complicado problema de... ehmm... bueno... de cómo apilar naranjas (entre nosotros). Resulta que este señor se llama Thomas Hales, es profesor de Matemáticas en la Universidad de Michigan y pudo demostrar que los verduleros siempre tuvieron razón. ¡La mejor manera de apilar las naranjas es como lo hacen ellos! Cabe señalar que algo que parece tan trivial como esto, le tomo 10 años de trabajo a Hales y la demostración consta de 250 páginas y una enorme cantidad de simulaciones por computadora.

Esto pasaba hace menos de 20 años...


Hales demostró que la forma más eficiente de empaquetar naranjas (o mejor dicho esferas) es exactamente la que usan los verduleros.

El tema se conoce como empaquetamiento de esferas, y constituye un tema de vital importancia en el entendimiento de las estructuras químicas. Es decir, de cómo se agrupan los átomos y moléculas. Además se usa en el campo de la electrónica, en el almacenaje eficaz de datos y en la teoría de comunicaciones entre computadoras.

Ahora cada vez que paso por una verdulería y veo una de éstas pirámides veo un circuito integrado, veo el modem que me conecta a Internet, veo a un químico haciendo un nuevo descubrimiento sobre nanotecnología...

Anotaciones de Johanne Kepler
...veo a Kepler dibujando naranjas en un amarillento cuaderno de anotaciones ilegibles.