El Principito de las Matemáticas

En 1784, en una pequeña ciudad de Alemania llamada Brunswick, la maestra Buttner dictaba clases en un segundo grado un tanto revoltoso de una escuela primaria. Ya cansada del lío que hacían los chicos del curso, y para mantenerlos ocupados un buen rato, les propuso el siguiente problema: Sumar los primeros 100 números. Es decir, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100.

Suponiendo que iba a tener unos cuantos minutos de paz, la maestra Buttner se fue a sentar. Pero apenas estaba empezando a saborear el silencio, una voz desde los pupitres interrumpió su relajación:

- ¡ Maestra !
- ¿Sí? - Preguntó la maestra desinteresadamente.
- El resultado es 5050. ¿No?

La maestra se incorporó como un resorte sin poder creerlo y le preguntó al niño:

- ¿Ya habías hecho la cuenta antes?
- No, la acabo de hacer.

Los demás pequeños tampoco entendían la situación ya que, con suerte, habían llegado a sumar los primeros 6 o 7 números.

Atónita, la maestra le pidió al chico que explicara cómo fue que hizo para hacer esa cuenta tan rápidamente.

El pequeño de apenas 7 años se levantó y empezó a escribir los números en el pizarrón:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

- Bueno -comenzó a explicar-. Lo que hice fue sumar el primero con el último:
1 + 100 = 101.
Luego sumar el segundo con el anteúltimo:
2 + 99 = 101.
Después el tercero con el antepenúltimo:
3 + 98 = 101.
- Sumando de a dos los números, como son 100, voy a hacer esta cuenta 50 veces. Entonces el total es sumar 50 veces 101, o sea, 50 x 101. Que da 5050 y era lo que usted quería que hiciéramos.

Así concluye la historia del niño alemán, que no sólo es cierta sino que su protagonista no es anónimo. Su nombre era Carl Friedrich Gauss (1777 -  1855), "El príncipe de las matemáticas",  considerado como el mejor matemático de la historia. Pero lo que quiero resaltar es que con tan sólo 7 años, este muchachito nos deja la invaluable enseñanza de que los problemas tienen muchas posibles soluciones y que si nos quedamos siempre con la "natural" o "la que nos enseñan" nos vamos a perder de encontrar mejores formas de resolverlos.

Problema para el lector:

En la historia anterior, Gauss sumó todos los números del 1 al 100 agrupando de a pares: (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (49 + 52) + (50 + 51).
Para agruparlos de a pares y que no sobre ninguno, se apoyó en que eran una cantidad par de numeros (ya que 100 es par). Por ejemplo, si hubieran sido 5 números no los podría haber agrupado en pares.
¿Cómo harías para sumar (sin calculadora, claro...) los primeros 133 números?

Persas, árboles y cuentas rápidas

Es mi caso, como el de muchas personas más, que siempre me costaron (y me aburrieron) las tablas de multiplicar. En la escuela solían pretender que me memorizara la tabla del 7: 7 x 1, 7 x 2, .... hasta 7 x 10. Esto suena muy familiar seguramente, y hay gente que cuando uno dice en voz alta "7 x 9..." responden casi robóticamente "¡ 63 !". Bien por ellos. Pero ¿qué pasa si uno dice "51 x 49..."?  Ahí la cosa cambia, y las respuestas que se pueden llegar a recibir son del tipo "¡ Ni idea !", "¿Por qué me mirás a mi?" o "¿Tengo cara de calculadora?". Pero, si apelamos al pensamiento en vez de a la memoria, nos vamos a dar cuenta que resolver multiplicaciones parecidas a esta es bastante sencillo e incluso se pueden hacer sin necesidad de lapiz y papel, y sólo en cuestión de segundos. Para esto, vamos a pedirle una pequeña mano al álgebra.

El álgebra es, además de una palabra que da miedo, una rama de la matemática que nació con el fin de echar luz sobre algunos problemas más que nada económicos. Su nombre viene del título de un libro que escribió un persa llamado Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Al Juarizmi para los amigos) en el siglo IX. El libro se llamaba "Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala". Algo así como "Compendio de cálculo por compleción y comparación" y nos sirve, en este caso, para contar árboles.


¿¡ Para contar árboles !?
Sí. Eso dije.

Supongamos que Andrés tiene un jardín con 3 hileras de 3 árboles cada una que forman un cuadrado y Beatriz tiene un jardin con 2 hileras de 4 árboles cada una que forman un rectángulo, es decir una hilera menos pero con un árbol más en cada una como se ve en la imagen de abajo.

Vista satelital del jardín de Andrés (izquierda) y el de Beatriz (derecha).

Pero Beatriz quiere tener un cuadrado de 3 x 3 como el de Andrés entonces decide transplantar el último árbol de cada hilera y con esos hacer una hilera nueva pero se da cuenta rápidamente que le va a faltar un árbol para completar el cuadrado.

Esto quiere decir que 2 x 4 es uno menos que 3 x 3. Lo cual no es ninguna novedad, ya que 2 x 4 = 8 y 3 x 3 = 9. Pero lo (quizas) novedoso es que esto vale con cualquier cantidad de árboles, es decir, si Andrés tiene un jardin con 5 hileras de 5 árboles cada una y Beatriz tiene un jardín con una hilera menos pero cada hilera tiene un árbol más, entonces Beatriz tiene un árbol menos que Andres. Y de hecho: 5 x 5 = 25 y 4 x 6 = 24. ¡ Opa ! Si tienen una calculadora a mano lo pueden probar, por ejemplo: 45 x 45 = 2025 y 44 x 46 = 2024. Luego, si uno sabe cuánto dan algunos números multiplicados por sí mismos entonces se puede ahorrar muchas cuentas, por ejemplo, uno quizas sabe que 20 x 20 es 400 ¡ pero entonces sabe que 19 x 21 es 399 !

Ahora, cuando uno pregunta cuánto es 49 x 51 por lo general nadie va a saber, bueno, pero 50 x 50 no es tan dificil, es 2500 ¡ Gracias Al Juarizmi ! 

Y despues de dos mil años...

Como mencioné en la nota anterior, el problema de Aquiles y la tortuga no vió solución hasta entrado el siglo XVII cuando un matemático escocés llamado James Gregory hizo algunos importantes descubrimientos en el campo de las sumas infinitas. Lo que este señor vió fue que si uno suma infinitos números positivos no necesariamente la suma da infinito ¡ un duro golpe al sentido común ! Pero ¿qué tiene que ver con la carrera de Aquiles? bueno, resulta que mucho. Para hacer las cosas más claras, pongamos algunas distancias y velocidades concretas.

Supongamos que la carrera es de diez kilómetros, que Aquiles corre al doble de la velocidad de la tortuga (sí, la tortuga va un poco rápido, o quizas Aquiles comió mucho antes de la competencia... cuestión es que los números mucho no importan), y que le da una ventaja de cuatro kilómetros. Bien, entonces, luego de arrancar, cuando Aquiles recorre los primeros 4km ve que la tortuga avanzó 2km, él sigue su marcha y cuando hace 2km más, la tortuga va a haber hecho 1km. Si seguimos este razonamiento, en una tercera instancia Aquiles va a correr 1km y la tortuga alejarse 500 metros, luego Aquiles hará 500m y la tortuga estará a 250m y así sucesivamente.

Lo que decía Zenón era que en todas las infinitas instancias de este proceso Aquiles iba a estar detrás de la tortuga, lo cual es cierto. Lo que el sentido común nos induce a pensar es que, como en cada instancia Aquiles corre un trecho, y las intancias son infinitas, entonces siempre estará corriendo detrás de la tortuga, lo cual es falso. Es decir, si uno suma los metros que hace Aquiles: 4000m + 2000m + 1000m + 500m + 250m + ... (y así eternamente) uno pensaría que, como son infinitos números los que se suman, debería dar infinito. Falso: esa suma da 8km. Pero, ya me perdí ¿qué significa esto? significa que la suma de todos los trechos en los cuales Aquiles está detras de la tortuga suman 8km, o dicho de otra forma, Aquiles va a estar detrás de la tortuga los primeros 8km y los restantes 2km de la carrera va a llevar la delantera.
 
La paradoja de Zenón tiene el error de suponer que una suma infinita de números positivos tiene que dar infinito sin importar qué tan chicos se vuelvan. Les propongo, para terminar de convencerse, que sumen en una calculadora 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... con el siguiente término igual a 1 dividido el doble del que dividía al anterior, en este caso el siguiente sería 1/16. Van a notar que siempre les va a dar un número más chico que 2 pero siempre acercándose un poco más.  Daría 2 si tuviéramos el tiempo de sumar infinitamente todos esos números.

Gregory finalmente le dió la razón a Aquiles

Zenón y la pesadilla de Aquiles

Zenón de Elea fue un filósofo griego nacido entre el 490 y el 480 a.C en la ciudad de Elea, dentro de lo que actualmente es Italia. Su maestro y mentor fue Parménides de Elea, un pensador con ideas un tanto alocadas para la época, él decía que la realidad era estática y eterna, es decir que no cambiaba, que lo que "es" siempre sería y no cambiaría nunca mientras que lo que no "es" nunca podría pasar a existir. Esto lo acompañaba aclarando que lo que uno percibía como realidad no era más que una ilusión y no era real, por supuesto esto tenía algunas "desagradables" consecuencias, como ser que, según este señor, el movimiento no existía, no era más que una ilusión. Este pensamiento chocaba con aquel de los pitagóricos, que a su vez consideraban que el movimiento, al igual que todo el universo, no sólo existía sino que era matemático.

 
Aqui entra en escena Zenón, quien era ferviente defensor de las ideas de Parménides. Él consideró la siguiente "paradoja" acerca del movimiento a la cuál no se le pudo encontrar una respuesta definitiva y contundente hasta el siglo XVII ¡ Más de dos mil años después !

La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al empezar la carrera, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más en el tiempo que le tomó a Aquiles llegar. Este proceso lo podría repetir indefinidamente hasta que la tortuga gane la carrera, pues cada vez que llegue a donde estaba la tortuga, esta ya va a haber avanzado un poco más.

Aquiles de esta manera estaría siempre detras de la tortuga

Zenón, de esta manera, pretendía demostrar que el movimiento era ilusorio y no podía ser explicado por las matematicas ya que no era más que una sensación.