Eratóstenes y cómo medir la Tierra con un palo

Nunca me voy a olvidar de mi maestra de 5to grado. Con ella debería haber aprendido la famosa regla de tres simple, no se si la recuerdan...

Si una docena de huevos sale $15, ¿cuánto me salen 5 huevos?

12 huevos -------------- $15
5 huevos --------------- X

Lo que debería haber aprendido en aquel entonces es que X = 5 x 15 / 12. Es decir, que 5 huevos salen $6,25.

Pero lo cierto es que esta agradable docente de 5to grado nos gritaba tanto que recién pude entender esta sencilla regla en 6to grado, un año más tarde... y con otra maestra.

Quizás también les suene que si cortamos una pizza en 4 porciones iguales, el ángulo de cada porción es de 90°, o sea que la pizza entera tiene 360°. Bueno, eso también lo aprendí en la primaria.

Eratóstenes y la pizza de 50 porciones

Eratóstenes fue un señor griego que vivió en Egipto cerca del 200 a.C, hace unos 2200 años. Como era costumbre en aquella época tener distintos "hobbies", él no quería ser menos, así que fue matemático, geógrafo, poeta, astrónomo, músico y ¡ hasta atleta !

Este señor no es conocido ni por sus poemas, ni por su música, ni por sus lanzamientos de javalinas. Es conocido por algo mucho más sorprendente, es conocido por haber medido la circunferencia de la Tierra, sin moverse de Egipto y usando únicamente un palo.

Un palo. Sí, un simple, común y ordinario palo.

Pero, ¿esto es un chiste?

No no, esto no es un chiste, les voy a explicar un poco.

Todo empezó cuando estuvo a cargo de la Biblioteca de Alejandría, algo así como la Wikipedia de aquella época. Un buen dia, leyó un papiro que comentaba que en la ciudad egipcia de Siena, el 21 de junio de cada año, al mediodía, el sol se ubicaba justo arriba de las cabezas de la gente, lo que ocacionaba que, si uno clavaba un palo en la tierra, al mediodía, no iba a proyectar sombra alguna.

Esto que parece un dato cotidiano y sin mucha importancia fue captado por la curiosidad de Eratóstenes. Entonces esperó hasta el 21 de junio, y clavó un palo en la tierra de Alejandría. Resulta que al mediodía, el palo tenía sombra.

"¡Caramba!" - dijo (probablemente en griego)

¿Cómo puede ser que, si la Tierra es plana, un palo en Alejandría proyecte una sombra y uno en Siena, al mismo tiempo, no proyecte ninguna?

Pero hay una manera de que esto tenga sentido: que la Tierra sea curva.

Eratóstenes supuso que la Tierra era esférica, y para encontrar su circunferencia lo que hizo fue medir la sombra que proyectaba el palo en Alejandría; echando mano sobre algunos conocimientos básicos de trigonometria pudo encontrar el ángulo que formaban los rayos del sol con el palo en Alejandría (a) que resultó ser de 7,2°.
Cabe aclarar que si pudiéramos trazar una línea desde los palos hacia abajo, ambas líneas se cruzarían en el centro de la Tierra, formando un ángulo (a) también de 7,2°, que es justo la quincuajésima parte de 360°.  Es decir, si uno cortara una pizza en 50 porciones, cada porción formaría un ángulo de 7,2°.

El último paso fue pagarle a una persona para que midiera exactamente a qué distancia de Alejandría estaba la ciudad de Siena. El rudimentario empleado tuvo que caminar contando los pasos hasta esta ciudad, e informó que la distancia era de 787 km, ¡ todo un viajecito !

Para concluir, si cada "porción" de 7,2° equivale a 787 km, entonces la pizza o circunferencia (de la Tierra) entera (50 porciones) equivale a 50 x 787 km = 39350 km. ¡ Regla de tres simple !

Hoy, con toda la tecnología que hay a nuestra disposición y con todos nuestros conocimientos, sabemos que la cirfunferencia de la Tierra es de alrededor de 40000 km, esto quiere decir que el cálculo de nuestro amigo griego tuvo un error menor al 2%. Bastante bien para el 200 a.C.

Eratóstenes midió la Tierra usando conocimientos de la escuela primaria actual, evidentemente elementales. Esto muestra que el conocimiento es una herramienta, aveces indispensable, pero que el verdadero motor detrás de los grandes genios es la creatividad...

... aunque ayuda mucho si además se tiene a mano un palo.

Creer vs Preguntar: El teorema de Pitágoras

Si uno tiene un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo en donde dos de sus lados (a y b) son perpendiculares, un tal Pitágoras dijo:

Esto quiere decir que la longitud de la hipotenusa (c) multiplicada por sí misma es igual al valor de un lado (a) multiplicado por sí mismo sumado a la longitud del tercer lado (b) multiplicada por sí misma.

Los matemáticos antigüos se dieron cuenta de que es peligrosamente aburrido repetir la frase "multiplicado por sí mismo" muchas veces, asi que decidieron llamar a esta acción "elevar al cuadrado" o simplemente "... al cuadrado", que parece ser bastante más sofisticada.

¿Por qué cuadrado?

Quizas sepan que para calcular la superficie (metros cuadrados) de una cancha de futbol basta con multiplicar su longitud por su ancho. Si tenemos una cancha de futbol cuadrada (su ancho es igual a su longitud) entonces basta multiplicar uno de sus lados (da igual cuál porque son iguales) por sí mismo.

Además de cambiarle el nombre a las cosas, los matemáticos también se dedican a "demostrar" los teoremas. ¿Qué significa esto?

Creer vs preguntar

 

Los matemáticos son personas muy desconfiadas.
Por lo general, cuando un simple mortal lee o le enseñan el teorema de Pitágoras, se lo "cree". Cree que es cierto por alguna razón, ya sea porque confía en la fuente, confía en su profesor o confía en Pitágoras (después de todo, su nombre parece importante). Los matemáticos no se conforman con esto, ellos tienen que "demostrarlo", es decir, de alguna manera probar que es cierto y que vale siempre; en este caso, midan lo que midan los lados del triángulo. Lo interesante es que casi siempre hay infinidad de maneras de probar un mismo teorema o afirmación, lo cual hace que el proceso de demostración sea de lo más creativo.

El teorema de Pitágoras es muy lindo, pero ¿Alguna vez nos preguntamos de dónde viene? ¿Cómo supo Pitágoras que vale? ¿De dónde lo sacó?
La mayoría no lo hace... pero ¿Por qué?

Es más fácil creer.

Bueno, desconfiemos un poco, veamos una forma de convencernos de lo que decía este señor griego.

Tomemos 4 triángulos rectángulos iguales de lados a, b y c, los colocamos dentro del siguiente marco verde y pinto de rojo la parte que no está cubierta.

Notemos dos cosas.
Una es que el área que no cubrimos (roja) es igual a C al cuadrado, porque es la superficie de un cuadrado de lados C.
La otra es que el área dentro del marco verde que no cubrimos con los triángulos (lo rojo) no cambia si movemos los triángulos de lugar sin encimarlos. Es decir, por más que movamos los triángulos, el área roja va a ser siempre C al cuadrado.

Antes de hacer el siguiente paso recordemos que lo que queremos probar es que:

 Bueno, entonces vamos a mover los triángulos 1 y 2 de la siguiente manera:

Fíjense que ahora podemos separar la parte roja en dos cuadrados, uno de lados b y otro de lados a. Entonces el área roja es

Pero habíamos dicho que el área roja era siempre

¡Entonces tienen que ser iguales !

Y esto lo hicimos sin asignar valores a los lados de los triángulos. Simplemente nombramos lados a, b y c, esto nos da la seguridad de que funcinona siempre, para cualquier longitud que le asignemos a los lados del triángulo.

Soy consciente de que, quizas, del otro lado de mi monitor, el lector esté esforzándose y estrujando su cerebro para entender algo de todo lo que leyó, tanto en esta nota como en las pasadas y en las que vendrán. Soy consciente de que, para quien no está acostumbrado a sumar y multiplicar letras en vez de números, captar la idea representa una tarea dificultosa y hasta retorcida. Y también soy consciente de que el cerebro es naturalmente haragán, no le gusta trabajar, no le gusta tener que pensar en las respuestas que uno se hace tan irresponsablemente. Soy consciente de que habría sido más fácil creernos el teorema de Pitágoras...

... así como soy consciente de que es más sencillo quedarse sentado en medio de una habitación oscura que levantarse y prender la luz.

 Existen 10 tipos de personas...

La semana pasada, navegando por internet, me encontré con una frase supuestamente cómica que decía así:
  

"Existen 10 tipos de personas: Las que saben binario, y las que no."

Aquellos que sepan un poco de matemática o de computación probablemente entiendan esta frase, y hasta les cause cierta gracia. Por el otro lado van a estar las personas que dicen simplemente: "No entendí".
Con un poco de suerte, para el final de la nota, a todos nos va a causar gracia la frase.

1. ¿Por qué el número diez es tan fácil?

 

Diría que es sabido y natural para todos que trabajar con el número diez es muy sencillo. Déjenme explicarme:

Sumarle 10 a un número es casi instantáneo...
1435 + 10 = 1445             (Sumo 1 a la segunda cifra empezando por la derecha)

Ni hablar de multiplicar por 10...
39 x 10 = 390                   (Agrego un 0 detrás del ultimo número)

¿Pero qué tiene el diez? ¿Es un número divino o fantástico? Además, como si fuera poco... ¡ los seres humanos tenemos por lo general 10 dedos en las manos en total ! ¡ Justo nuestra herramienta más fácil de usar a la hora de contar ! ¡ Increíble ! ¡ Qué casualidad ! 

No se a ustedes, pero a mi, las casualidades increíbles me hacen sospechar.

Hagamos un juego, supongamos que en Marte, los marcianos conocen los símbolos del 0 al 8 pero el 9 no, nunca se inventó, si algún marciano lo viera diría que es un 6 al revez, nada más. Ojo, no es que no conozcan el número nueve. El número nueve sería, al igual que en la Tierra, el que le sigue al 8.

Bueno, entonces empecemos a contar en Marte:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.... No no, ¡ me equivoqué ! el 9 no lo conocen. Empecemos otra vez:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, ...     (*)

Ahí está mejor, fíjense que nos salteamos el 9 y el 19, y, si siguiéramos, nos saltearíamos el 29, 39, etc...

Pero, si un marciano tuviera nueve caramelos en la mano, ¿ cómo lo escribiría ?
Bien, si tiene nueve caramelos tendría que escribir "Tengo 10 caramelos en la mano.", porque, si se fijan en el sistema marciano, 10 es el noveno número. De la misma manera, si tiene diecinueve caramelos tendría que escribir "Tengo 21 caramelos.", y si tuviera dieciocho sería "Tengo 20 caramelos.". Quizas parezca confuso al principio, pero no se preocupen... Realmente lo es. Sin embargo, si siguen la tablita con el (*) se les va a hacer más fácil.

Hagamos algunas cuentas con el número nueve en la Tierra y en Marte:
En la Tierra: 4 + 9 = 13
En Marte, la misma cuenta sería : 4 + 10 = 14

En la Tierra: 7 x 9 = 63
En Marte, la misma cuenta sería: 7 x 10 = 70

En la Tierra:  9 x 9 = 81
En Marte, la misma cuenta sería 10 x 10 = 100

Notarán que operar con el numero nueve en Marte es mucho más cómodo que en la Tierra. Para los marcianos, el número nueve es fascinante, divino, fantástico y todo lo demás, pero para nosotros es, de hecho, un número bastante molesto. ¿Qué fue lo que cambió?

La única diferencia entre los marcianos y nosotros es que usamos un sistema de numeración diferente. Nosotros usamos un sistema en base diez, y ellos un sistema en base nueve. Esto quiere decir que nosotros, para expresar cualquier número, por grande que sea, hacemos una combinación de diez símbolos, estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por el otro lado, los marcianos, para expresar cualquier número, por grande que sea, usan nueve símbolos, estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Recuerden que los marcianos escriben el nueve como 10, y el diez como 11.

Para ellos, el número diez (11) es muy molesto a la hora de hacer cuentas, el diez, para los marcianos, es horrible. Sin embargo, el número sencillo es el nueve.


2. ¿ Y la frase del principio ?

La frase del principio está escrita usando el sistema binario, es decir el sistema que usa sólo dos símbolos, el 0 y el 1 para representar cualquier número. Si empezamos a contar en sistema binario nos quedaría algo así:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000...

Teniendo esto en cuenta, si releemos la frase...

 "Existen 10 tipos de personas: Las que saben binario, y las que no."

... ¿se entendió?

Hagamos una reflexión. Al viajar a nuestro planeta vecino, nos dimos cuenta que nuestro 10 (diez) no es realmente un número tan mágico. Es mágico para nosotros simplemente por nuestra manera de contar, por nuestra organización. El número en sí es tan lindo y tan feo como todos los demás.
Lo que sí podemos afirmar entonces, es que operar con el primer número que se representa con dos cifras es muy fácil para todos los sistemas. El diez para nosotros, el nueve para los marcianos, y el dos para los que usan binario.

Después de todo, algo que parecía tan natural, tan verdadero e incuestionable como la facilidad del diez se desploma apenas cambiamos nuestro punto de vista. Apenas empezamos a ver las cosas como las vería un marciano.

El problema de las canicas y la balanza: Parte II

Por ahora sólo voy a responder la segunda pregunta del problema anterior: 
¿Se puede encontrar la canica liviana usando la balanza sólo 2 veces?
Sí, pero ... ¿Cómo?

¿Por qué cuesta resolver acertijos?

Esta pregunta parece un tanto dificil de responder, y, en verdad, quizas asi sea. Sin embargo, sólo me estoy refiriendo al tipo de acertijos como el de las canicas y la balanza. Acertijos en los cuales no hay "trampas", no hay que recurrir a explicaciones extravagantes, ni a conocimientos avanzados, aun así muchas veces nos resultan dificiles. Es verdad que requieren que a uno "se le ocurra" la solución, pero, por lo general, hay algo que hace que nos cuesten más ¿Por qué?

- Nos cuestan más porque nuestro cerebro se apura.

- ¿Cómo que se apura?

Se apura. Nuestra mente tiende siempre a dar por sentados muchos detalles que parecerían menores, de esta manera se puede ser más eficiente en la inmensa mayoría de los casos cotidianos. Imagínense cómo sería si cada vez que fuéramos a sentarnos en una silla, nos tuviéramos que asegurar que sus patas estén en buen estado para que nos pueda soportar. O si cada vez que prendemos el televisor, o la computadora, nos tuviéramos que fijar si está conectada. ¡ Se perdería mucho tiempo ! Nuestro cerebro "sabe" eso, por eso da por sentado que la silla nos aguantará y que el televisor o la computadora están conectados.

Este es el punto débil de nuestros razonamientos, muchos acertijos atacan justamente este punto.

El caso de las canicas y la balanza.

Este acertijo ataca, muy sutilmente, un detalle que la mente suele dar por sentado incorrectamente. El detalle puede no ser crucial, pero sí condiciona nuestros razonamientos.

Aprovecho ahora para responder la primera pregunta. ¿Cómo se puede hacer para encontrar la canica usando la balanza 3 veces?

El que haya intentado resolverlo, probablemente llegó a que, efectivamente, se puede encontrar la canica liviana usando la balanza 3 veces. Intuyo aventuradamente que el lector pensó que si tenemos 8 canicas podemos separarlas en dos grupos de 4, pesarlos, quedarnos con el grupo más liviano (el que tiene la canica más liviana), separarlo en 2 grupos de 2, pesarlos, quedarnos con el más liviano, y por último pesar las últimas dos canicas.

 De esta manera, dividiendo en 2 grupos de canicas y siempre descartando uno, llegamos a la canica liviana en 3 pasos.

Pero... ¿En qué momento nuestra mente se está apurando?

Se apura cuando asocia la balanza con sólo 2 posibles resultados y de ahí viene que tendamos a separar en 2 grupos siempre. Asume que si pesamos dos grupos de canicas, el primero es más liviano que el segundo o viceversa ¡ Pero ese razonamiento es incompleto ! La balanza nos puede dar 3 resultados: que un grupo sea más liviano que el otro, que el otro sea más liviano que el primero, o que pesen lo mismo.

Invito a quienes lean esto a tomarse unos minutos para repensar el problema teniendo en cuenta que la balanza de brazos nos puede dar tres posibles resultados, no dos. Es verdad, todavía se nos "tiene que ocurrir" la solución... pero al menos ahora nuestro cerebro no nos juega en contra.


    

El problema de las canicas y la balanza: Parte I

Hace ya varios meses, estaba tomando mates y charlando en casa con unos amigos cuando encontramos un librito vejuzco y amarronado que tenía como título "Juegos de Ingenio". Era uno de esos tantos libros llenos de pequeños acertijos cortitos y, como era domingo y no teníamos nada muy imporante que hacer, nos pusimos a leer algunos. La mayoría eran poco interesantes y nos aburrimos rápidamente, pero antes de cambiar de tema, alguien leyó uno que me pareció bastante ingenioso y un tiempo después me tomé el (agradable) trabajo de reflexionarlo y finalmente reformularlo para que sea un poco más divertido.

Balanza de brazos. Compara los pesos de lo que pongamos de cada lado pero no nos dice cuánto pesa.

El acertijo

Hay, sobre una mesa, una balanza de brazos y 8 canicas idénticas salvo porque una de las 8 es apenas un poco más liviana que las demás (tan poca es la diferencia de peso que se nos haría imposible encontrar la más liviana sólo con nuestras manos).

¿Cómo se puede hacer para encontrar la canica liviana con %100 de certeza usando la balanza sólo 3 veces? ¿Se la puede encontrar usándola 2 veces? ¿Qué pasa si tengo 9 canicas en vez de 8?

Probando Suerte: el Quini 6

Me atrevo a suponer que el lector sabe, o al menos intuye, que si tira una moneda al aire tiene %50 de probabilidad de que salga cara y %50 de que salga ceca, y que si le pido que adivine el número que estoy pensando entre 1 y 10 tiene un %10 de acertar.

Sentadas esas bases, paso a comentar lo que estuve pensando:

El Quini 6 es un conocido juego de lotería en que, para jugarlo, uno debe comprar un billete (de unos $3 o $4) que contiene 6 números entre el 0 y el 45. Unos días después se sortean 6 números al azar, las personas que en su billete tengan los números que salieron sorteados ganan el primer premio que suele ser alrededor de $4.000.000. Una cifra bastante tentadora sin duda. Quizas a primera vista no parezca tan dificil acertar a los 6 números que salen sorteados pero sí lo es: 1 en 9.366.819. O mejor dicho algo así como %0,00001...

Pero mi intención no es mostrar esto, ya que es información que se puede encontrar fácilmente en internet. Mi intención es hacer entender realmente cuán dificil es ganar el primer premio del Quini 6 y, es más, entender cuánta "suerte" tienen los pocos que ganan.

 ¿Cómo hacer para aumentar las chances?

Es natural (y correcto) pensar que si me propongo jugar al Quini 6 todos los meses desde hoy hasta dentro de un año, voy a tener mejores probabilidades de ganar al cabo de ese año que si juego sólo una vez. Generalizando este pensamiento, mientras más veces juegue más chances voy a tener de ganar alguna vez. ¡Fantástico! Entonces ¿cuántas veces necesitaría jugar para tener un porcentaje decente de probabilidades de ganar?

Bueno, supongamos que por "porcentaje decente" me refiero a un %50 de probablidades. Parece potable ¿no?

Acá es donde los números, y más precisamente las probabilidades, hacen que nuestra muy amada intuición falle escandalosamente.

Supongamos que decido jugar cada mes, es decir, me hago un plan para ir el primer día de cada mes a comprar un billete de Quini6. Para tener una probabilidad de %50 de ganar (las mismas que acertarle a la cara de una moneda) debería jugar durante... ¡ 541.666 años !

Bueno a ver, probemos algo más extremo. Supongamos entonces que juego todos los días de la semana, 7 días incluyendo feriados, carnavales y demás. Nuevamente, para tener una probabilidad de ganar de %50 debería jugar durante... ¡ 17.808 años ! ¡ Más de 4 veces la antigüedad de las pirámides de Egipto ! Además, en total, tendría que jugar unas 6.500.000 veces. Si el precio del billete no cambiara de valor serían unos $19.500.000 (mucho más que el premio mayor).






... Todo para tener las mismas chances que tirar una moneda y que salga cara...

...Y que todavía pueda salir ceca. 

El Principito de las Matemáticas

En 1784, en una pequeña ciudad de Alemania llamada Brunswick, la maestra Buttner dictaba clases en un segundo grado un tanto revoltoso de una escuela primaria. Ya cansada del lío que hacían los chicos del curso, y para mantenerlos ocupados un buen rato, les propuso el siguiente problema: Sumar los primeros 100 números. Es decir, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100.

Suponiendo que iba a tener unos cuantos minutos de paz, la maestra Buttner se fue a sentar. Pero apenas estaba empezando a saborear el silencio, una voz desde los pupitres interrumpió su relajación:

- ¡ Maestra !
- ¿Sí? - Preguntó la maestra desinteresadamente.
- El resultado es 5050. ¿No?

La maestra se incorporó como un resorte sin poder creerlo y le preguntó al niño:

- ¿Ya habías hecho la cuenta antes?
- No, la acabo de hacer.

Los demás pequeños tampoco entendían la situación ya que, con suerte, habían llegado a sumar los primeros 6 o 7 números.

Atónita, la maestra le pidió al chico que explicara cómo fue que hizo para hacer esa cuenta tan rápidamente.

El pequeño de apenas 7 años se levantó y empezó a escribir los números en el pizarrón:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

- Bueno -comenzó a explicar-. Lo que hice fue sumar el primero con el último:
1 + 100 = 101.
Luego sumar el segundo con el anteúltimo:
2 + 99 = 101.
Después el tercero con el antepenúltimo:
3 + 98 = 101.
- Sumando de a dos los números, como son 100, voy a hacer esta cuenta 50 veces. Entonces el total es sumar 50 veces 101, o sea, 50 x 101. Que da 5050 y era lo que usted quería que hiciéramos.

Así concluye la historia del niño alemán, que no sólo es cierta sino que su protagonista no es anónimo. Su nombre era Carl Friedrich Gauss (1777 -  1855), "El príncipe de las matemáticas",  considerado como el mejor matemático de la historia. Pero lo que quiero resaltar es que con tan sólo 7 años, este muchachito nos deja la invaluable enseñanza de que los problemas tienen muchas posibles soluciones y que si nos quedamos siempre con la "natural" o "la que nos enseñan" nos vamos a perder de encontrar mejores formas de resolverlos.

Problema para el lector:

En la historia anterior, Gauss sumó todos los números del 1 al 100 agrupando de a pares: (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (49 + 52) + (50 + 51).
Para agruparlos de a pares y que no sobre ninguno, se apoyó en que eran una cantidad par de numeros (ya que 100 es par). Por ejemplo, si hubieran sido 5 números no los podría haber agrupado en pares.
¿Cómo harías para sumar (sin calculadora, claro...) los primeros 133 números?

Persas, árboles y cuentas rápidas

Es mi caso, como el de muchas personas más, que siempre me costaron (y me aburrieron) las tablas de multiplicar. En la escuela solían pretender que me memorizara la tabla del 7: 7 x 1, 7 x 2, .... hasta 7 x 10. Esto suena muy familiar seguramente, y hay gente que cuando uno dice en voz alta "7 x 9..." responden casi robóticamente "¡ 63 !". Bien por ellos. Pero ¿qué pasa si uno dice "51 x 49..."?  Ahí la cosa cambia, y las respuestas que se pueden llegar a recibir son del tipo "¡ Ni idea !", "¿Por qué me mirás a mi?" o "¿Tengo cara de calculadora?". Pero, si apelamos al pensamiento en vez de a la memoria, nos vamos a dar cuenta que resolver multiplicaciones parecidas a esta es bastante sencillo e incluso se pueden hacer sin necesidad de lapiz y papel, y sólo en cuestión de segundos. Para esto, vamos a pedirle una pequeña mano al álgebra.

El álgebra es, además de una palabra que da miedo, una rama de la matemática que nació con el fin de echar luz sobre algunos problemas más que nada económicos. Su nombre viene del título de un libro que escribió un persa llamado Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Al Juarizmi para los amigos) en el siglo IX. El libro se llamaba "Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala". Algo así como "Compendio de cálculo por compleción y comparación" y nos sirve, en este caso, para contar árboles.


¿¡ Para contar árboles !?
Sí. Eso dije.

Supongamos que Andrés tiene un jardín con 3 hileras de 3 árboles cada una que forman un cuadrado y Beatriz tiene un jardin con 2 hileras de 4 árboles cada una que forman un rectángulo, es decir una hilera menos pero con un árbol más en cada una como se ve en la imagen de abajo.

Vista satelital del jardín de Andrés (izquierda) y el de Beatriz (derecha).

Pero Beatriz quiere tener un cuadrado de 3 x 3 como el de Andrés entonces decide transplantar el último árbol de cada hilera y con esos hacer una hilera nueva pero se da cuenta rápidamente que le va a faltar un árbol para completar el cuadrado.

Esto quiere decir que 2 x 4 es uno menos que 3 x 3. Lo cual no es ninguna novedad, ya que 2 x 4 = 8 y 3 x 3 = 9. Pero lo (quizas) novedoso es que esto vale con cualquier cantidad de árboles, es decir, si Andrés tiene un jardin con 5 hileras de 5 árboles cada una y Beatriz tiene un jardín con una hilera menos pero cada hilera tiene un árbol más, entonces Beatriz tiene un árbol menos que Andres. Y de hecho: 5 x 5 = 25 y 4 x 6 = 24. ¡ Opa ! Si tienen una calculadora a mano lo pueden probar, por ejemplo: 45 x 45 = 2025 y 44 x 46 = 2024. Luego, si uno sabe cuánto dan algunos números multiplicados por sí mismos entonces se puede ahorrar muchas cuentas, por ejemplo, uno quizas sabe que 20 x 20 es 400 ¡ pero entonces sabe que 19 x 21 es 399 !

Ahora, cuando uno pregunta cuánto es 49 x 51 por lo general nadie va a saber, bueno, pero 50 x 50 no es tan dificil, es 2500 ¡ Gracias Al Juarizmi ! 

Y despues de dos mil años...

Como mencioné en la nota anterior, el problema de Aquiles y la tortuga no vió solución hasta entrado el siglo XVII cuando un matemático escocés llamado James Gregory hizo algunos importantes descubrimientos en el campo de las sumas infinitas. Lo que este señor vió fue que si uno suma infinitos números positivos no necesariamente la suma da infinito ¡ un duro golpe al sentido común ! Pero ¿qué tiene que ver con la carrera de Aquiles? bueno, resulta que mucho. Para hacer las cosas más claras, pongamos algunas distancias y velocidades concretas.

Supongamos que la carrera es de diez kilómetros, que Aquiles corre al doble de la velocidad de la tortuga (sí, la tortuga va un poco rápido, o quizas Aquiles comió mucho antes de la competencia... cuestión es que los números mucho no importan), y que le da una ventaja de cuatro kilómetros. Bien, entonces, luego de arrancar, cuando Aquiles recorre los primeros 4km ve que la tortuga avanzó 2km, él sigue su marcha y cuando hace 2km más, la tortuga va a haber hecho 1km. Si seguimos este razonamiento, en una tercera instancia Aquiles va a correr 1km y la tortuga alejarse 500 metros, luego Aquiles hará 500m y la tortuga estará a 250m y así sucesivamente.

Lo que decía Zenón era que en todas las infinitas instancias de este proceso Aquiles iba a estar detrás de la tortuga, lo cual es cierto. Lo que el sentido común nos induce a pensar es que, como en cada instancia Aquiles corre un trecho, y las intancias son infinitas, entonces siempre estará corriendo detrás de la tortuga, lo cual es falso. Es decir, si uno suma los metros que hace Aquiles: 4000m + 2000m + 1000m + 500m + 250m + ... (y así eternamente) uno pensaría que, como son infinitos números los que se suman, debería dar infinito. Falso: esa suma da 8km. Pero, ya me perdí ¿qué significa esto? significa que la suma de todos los trechos en los cuales Aquiles está detras de la tortuga suman 8km, o dicho de otra forma, Aquiles va a estar detrás de la tortuga los primeros 8km y los restantes 2km de la carrera va a llevar la delantera.
 
La paradoja de Zenón tiene el error de suponer que una suma infinita de números positivos tiene que dar infinito sin importar qué tan chicos se vuelvan. Les propongo, para terminar de convencerse, que sumen en una calculadora 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... con el siguiente término igual a 1 dividido el doble del que dividía al anterior, en este caso el siguiente sería 1/16. Van a notar que siempre les va a dar un número más chico que 2 pero siempre acercándose un poco más.  Daría 2 si tuviéramos el tiempo de sumar infinitamente todos esos números.

Gregory finalmente le dió la razón a Aquiles

Zenón y la pesadilla de Aquiles

Zenón de Elea fue un filósofo griego nacido entre el 490 y el 480 a.C en la ciudad de Elea, dentro de lo que actualmente es Italia. Su maestro y mentor fue Parménides de Elea, un pensador con ideas un tanto alocadas para la época, él decía que la realidad era estática y eterna, es decir que no cambiaba, que lo que "es" siempre sería y no cambiaría nunca mientras que lo que no "es" nunca podría pasar a existir. Esto lo acompañaba aclarando que lo que uno percibía como realidad no era más que una ilusión y no era real, por supuesto esto tenía algunas "desagradables" consecuencias, como ser que, según este señor, el movimiento no existía, no era más que una ilusión. Este pensamiento chocaba con aquel de los pitagóricos, que a su vez consideraban que el movimiento, al igual que todo el universo, no sólo existía sino que era matemático.

 
Aqui entra en escena Zenón, quien era ferviente defensor de las ideas de Parménides. Él consideró la siguiente "paradoja" acerca del movimiento a la cuál no se le pudo encontrar una respuesta definitiva y contundente hasta el siglo XVII ¡ Más de dos mil años después !

La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al empezar la carrera, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más en el tiempo que le tomó a Aquiles llegar. Este proceso lo podría repetir indefinidamente hasta que la tortuga gane la carrera, pues cada vez que llegue a donde estaba la tortuga, esta ya va a haber avanzado un poco más.

Aquiles de esta manera estaría siempre detras de la tortuga

Zenón, de esta manera, pretendía demostrar que el movimiento era ilusorio y no podía ser explicado por las matematicas ya que no era más que una sensación.