Eratóstenes y cómo medir la Tierra con un palo

Nunca me voy a olvidar de mi maestra de 5to grado. Con ella debería haber aprendido la famosa regla de tres simple, no se si la recuerdan...

Si una docena de huevos sale $15, ¿cuánto me salen 5 huevos?

12 huevos -------------- $15
5 huevos --------------- X

Lo que debería haber aprendido en aquel entonces es que X = 5 x 15 / 12. Es decir, que 5 huevos salen $6,25.

Pero lo cierto es que esta agradable docente de 5to grado nos gritaba tanto que recién pude entender esta sencilla regla en 6to grado, un año más tarde... y con otra maestra.

Quizás también les suene que si cortamos una pizza en 4 porciones iguales, el ángulo de cada porción es de 90°, o sea que la pizza entera tiene 360°. Bueno, eso también lo aprendí en la primaria.

Eratóstenes y la pizza de 50 porciones

Eratóstenes fue un señor griego que vivió en Egipto cerca del 200 a.C, hace unos 2200 años. Como era costumbre en aquella época tener distintos "hobbies", él no quería ser menos, así que fue matemático, geógrafo, poeta, astrónomo, músico y ¡ hasta atleta !

Este señor no es conocido ni por sus poemas, ni por su música, ni por sus lanzamientos de javalinas. Es conocido por algo mucho más sorprendente, es conocido por haber medido la circunferencia de la Tierra, sin moverse de Egipto y usando únicamente un palo.

Un palo. Sí, un simple, común y ordinario palo.

Pero, ¿esto es un chiste?

No no, esto no es un chiste, les voy a explicar un poco.

Todo empezó cuando estuvo a cargo de la Biblioteca de Alejandría, algo así como la Wikipedia de aquella época. Un buen dia, leyó un papiro que comentaba que en la ciudad egipcia de Siena, el 21 de junio de cada año, al mediodía, el sol se ubicaba justo arriba de las cabezas de la gente, lo que ocacionaba que, si uno clavaba un palo en la tierra, al mediodía, no iba a proyectar sombra alguna.

Esto que parece un dato cotidiano y sin mucha importancia fue captado por la curiosidad de Eratóstenes. Entonces esperó hasta el 21 de junio, y clavó un palo en la tierra de Alejandría. Resulta que al mediodía, el palo tenía sombra.

"¡Caramba!" - dijo (probablemente en griego)

¿Cómo puede ser que, si la Tierra es plana, un palo en Alejandría proyecte una sombra y uno en Siena, al mismo tiempo, no proyecte ninguna?

Pero hay una manera de que esto tenga sentido: que la Tierra sea curva.

Eratóstenes supuso que la Tierra era esférica, y para encontrar su circunferencia lo que hizo fue medir la sombra que proyectaba el palo en Alejandría; echando mano sobre algunos conocimientos básicos de trigonometria pudo encontrar el ángulo que formaban los rayos del sol con el palo en Alejandría (a) que resultó ser de 7,2°.
Cabe aclarar que si pudiéramos trazar una línea desde los palos hacia abajo, ambas líneas se cruzarían en el centro de la Tierra, formando un ángulo (a) también de 7,2°, que es justo la quincuajésima parte de 360°.  Es decir, si uno cortara una pizza en 50 porciones, cada porción formaría un ángulo de 7,2°.

El último paso fue pagarle a una persona para que midiera exactamente a qué distancia de Alejandría estaba la ciudad de Siena. El rudimentario empleado tuvo que caminar contando los pasos hasta esta ciudad, e informó que la distancia era de 787 km, ¡ todo un viajecito !

Para concluir, si cada "porción" de 7,2° equivale a 787 km, entonces la pizza o circunferencia (de la Tierra) entera (50 porciones) equivale a 50 x 787 km = 39350 km. ¡ Regla de tres simple !

Hoy, con toda la tecnología que hay a nuestra disposición y con todos nuestros conocimientos, sabemos que la cirfunferencia de la Tierra es de alrededor de 40000 km, esto quiere decir que el cálculo de nuestro amigo griego tuvo un error menor al 2%. Bastante bien para el 200 a.C.

Eratóstenes midió la Tierra usando conocimientos de la escuela primaria actual, evidentemente elementales. Esto muestra que el conocimiento es una herramienta, aveces indispensable, pero que el verdadero motor detrás de los grandes genios es la creatividad...

... aunque ayuda mucho si además se tiene a mano un palo.

Creer vs Preguntar: El teorema de Pitágoras

Si uno tiene un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo en donde dos de sus lados (a y b) son perpendiculares, un tal Pitágoras dijo:

Esto quiere decir que la longitud de la hipotenusa (c) multiplicada por sí misma es igual al valor de un lado (a) multiplicado por sí mismo sumado a la longitud del tercer lado (b) multiplicada por sí misma.

Los matemáticos antigüos se dieron cuenta de que es peligrosamente aburrido repetir la frase "multiplicado por sí mismo" muchas veces, asi que decidieron llamar a esta acción "elevar al cuadrado" o simplemente "... al cuadrado", que parece ser bastante más sofisticada.

¿Por qué cuadrado?

Quizas sepan que para calcular la superficie (metros cuadrados) de una cancha de futbol basta con multiplicar su longitud por su ancho. Si tenemos una cancha de futbol cuadrada (su ancho es igual a su longitud) entonces basta multiplicar uno de sus lados (da igual cuál porque son iguales) por sí mismo.

Además de cambiarle el nombre a las cosas, los matemáticos también se dedican a "demostrar" los teoremas. ¿Qué significa esto?

Creer vs preguntar

 

Los matemáticos son personas muy desconfiadas.
Por lo general, cuando un simple mortal lee o le enseñan el teorema de Pitágoras, se lo "cree". Cree que es cierto por alguna razón, ya sea porque confía en la fuente, confía en su profesor o confía en Pitágoras (después de todo, su nombre parece importante). Los matemáticos no se conforman con esto, ellos tienen que "demostrarlo", es decir, de alguna manera probar que es cierto y que vale siempre; en este caso, midan lo que midan los lados del triángulo. Lo interesante es que casi siempre hay infinidad de maneras de probar un mismo teorema o afirmación, lo cual hace que el proceso de demostración sea de lo más creativo.

El teorema de Pitágoras es muy lindo, pero ¿Alguna vez nos preguntamos de dónde viene? ¿Cómo supo Pitágoras que vale? ¿De dónde lo sacó?
La mayoría no lo hace... pero ¿Por qué?

Es más fácil creer.

Bueno, desconfiemos un poco, veamos una forma de convencernos de lo que decía este señor griego.

Tomemos 4 triángulos rectángulos iguales de lados a, b y c, los colocamos dentro del siguiente marco verde y pinto de rojo la parte que no está cubierta.

Notemos dos cosas.
Una es que el área que no cubrimos (roja) es igual a C al cuadrado, porque es la superficie de un cuadrado de lados C.
La otra es que el área dentro del marco verde que no cubrimos con los triángulos (lo rojo) no cambia si movemos los triángulos de lugar sin encimarlos. Es decir, por más que movamos los triángulos, el área roja va a ser siempre C al cuadrado.

Antes de hacer el siguiente paso recordemos que lo que queremos probar es que:

 Bueno, entonces vamos a mover los triángulos 1 y 2 de la siguiente manera:

Fíjense que ahora podemos separar la parte roja en dos cuadrados, uno de lados b y otro de lados a. Entonces el área roja es

Pero habíamos dicho que el área roja era siempre

¡Entonces tienen que ser iguales !

Y esto lo hicimos sin asignar valores a los lados de los triángulos. Simplemente nombramos lados a, b y c, esto nos da la seguridad de que funcinona siempre, para cualquier longitud que le asignemos a los lados del triángulo.

Soy consciente de que, quizas, del otro lado de mi monitor, el lector esté esforzándose y estrujando su cerebro para entender algo de todo lo que leyó, tanto en esta nota como en las pasadas y en las que vendrán. Soy consciente de que, para quien no está acostumbrado a sumar y multiplicar letras en vez de números, captar la idea representa una tarea dificultosa y hasta retorcida. Y también soy consciente de que el cerebro es naturalmente haragán, no le gusta trabajar, no le gusta tener que pensar en las respuestas que uno se hace tan irresponsablemente. Soy consciente de que habría sido más fácil creernos el teorema de Pitágoras...

... así como soy consciente de que es más sencillo quedarse sentado en medio de una habitación oscura que levantarse y prender la luz.

 Existen 10 tipos de personas...

La semana pasada, navegando por internet, me encontré con una frase supuestamente cómica que decía así:
  

"Existen 10 tipos de personas: Las que saben binario, y las que no."

Aquellos que sepan un poco de matemática o de computación probablemente entiendan esta frase, y hasta les cause cierta gracia. Por el otro lado van a estar las personas que dicen simplemente: "No entendí".
Con un poco de suerte, para el final de la nota, a todos nos va a causar gracia la frase.

1. ¿Por qué el número diez es tan fácil?

 

Diría que es sabido y natural para todos que trabajar con el número diez es muy sencillo. Déjenme explicarme:

Sumarle 10 a un número es casi instantáneo...
1435 + 10 = 1445             (Sumo 1 a la segunda cifra empezando por la derecha)

Ni hablar de multiplicar por 10...
39 x 10 = 390                   (Agrego un 0 detrás del ultimo número)

¿Pero qué tiene el diez? ¿Es un número divino o fantástico? Además, como si fuera poco... ¡ los seres humanos tenemos por lo general 10 dedos en las manos en total ! ¡ Justo nuestra herramienta más fácil de usar a la hora de contar ! ¡ Increíble ! ¡ Qué casualidad ! 

No se a ustedes, pero a mi, las casualidades increíbles me hacen sospechar.

Hagamos un juego, supongamos que en Marte, los marcianos conocen los símbolos del 0 al 8 pero el 9 no, nunca se inventó, si algún marciano lo viera diría que es un 6 al revez, nada más. Ojo, no es que no conozcan el número nueve. El número nueve sería, al igual que en la Tierra, el que le sigue al 8.

Bueno, entonces empecemos a contar en Marte:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.... No no, ¡ me equivoqué ! el 9 no lo conocen. Empecemos otra vez:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, ...     (*)

Ahí está mejor, fíjense que nos salteamos el 9 y el 19, y, si siguiéramos, nos saltearíamos el 29, 39, etc...

Pero, si un marciano tuviera nueve caramelos en la mano, ¿ cómo lo escribiría ?
Bien, si tiene nueve caramelos tendría que escribir "Tengo 10 caramelos en la mano.", porque, si se fijan en el sistema marciano, 10 es el noveno número. De la misma manera, si tiene diecinueve caramelos tendría que escribir "Tengo 21 caramelos.", y si tuviera dieciocho sería "Tengo 20 caramelos.". Quizas parezca confuso al principio, pero no se preocupen... Realmente lo es. Sin embargo, si siguen la tablita con el (*) se les va a hacer más fácil.

Hagamos algunas cuentas con el número nueve en la Tierra y en Marte:
En la Tierra: 4 + 9 = 13
En Marte, la misma cuenta sería : 4 + 10 = 14

En la Tierra: 7 x 9 = 63
En Marte, la misma cuenta sería: 7 x 10 = 70

En la Tierra:  9 x 9 = 81
En Marte, la misma cuenta sería 10 x 10 = 100

Notarán que operar con el numero nueve en Marte es mucho más cómodo que en la Tierra. Para los marcianos, el número nueve es fascinante, divino, fantástico y todo lo demás, pero para nosotros es, de hecho, un número bastante molesto. ¿Qué fue lo que cambió?

La única diferencia entre los marcianos y nosotros es que usamos un sistema de numeración diferente. Nosotros usamos un sistema en base diez, y ellos un sistema en base nueve. Esto quiere decir que nosotros, para expresar cualquier número, por grande que sea, hacemos una combinación de diez símbolos, estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por el otro lado, los marcianos, para expresar cualquier número, por grande que sea, usan nueve símbolos, estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Recuerden que los marcianos escriben el nueve como 10, y el diez como 11.

Para ellos, el número diez (11) es muy molesto a la hora de hacer cuentas, el diez, para los marcianos, es horrible. Sin embargo, el número sencillo es el nueve.


2. ¿ Y la frase del principio ?

La frase del principio está escrita usando el sistema binario, es decir el sistema que usa sólo dos símbolos, el 0 y el 1 para representar cualquier número. Si empezamos a contar en sistema binario nos quedaría algo así:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000...

Teniendo esto en cuenta, si releemos la frase...

 "Existen 10 tipos de personas: Las que saben binario, y las que no."

... ¿se entendió?

Hagamos una reflexión. Al viajar a nuestro planeta vecino, nos dimos cuenta que nuestro 10 (diez) no es realmente un número tan mágico. Es mágico para nosotros simplemente por nuestra manera de contar, por nuestra organización. El número en sí es tan lindo y tan feo como todos los demás.
Lo que sí podemos afirmar entonces, es que operar con el primer número que se representa con dos cifras es muy fácil para todos los sistemas. El diez para nosotros, el nueve para los marcianos, y el dos para los que usan binario.

Después de todo, algo que parecía tan natural, tan verdadero e incuestionable como la facilidad del diez se desploma apenas cambiamos nuestro punto de vista. Apenas empezamos a ver las cosas como las vería un marciano.