Creer vs Preguntar: El teorema de Pitágoras

Si uno tiene un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo en donde dos de sus lados (a y b) son perpendiculares, un tal Pitágoras dijo:

Esto quiere decir que la longitud de la hipotenusa (c) multiplicada por sí misma es igual al valor de un lado (a) multiplicado por sí mismo sumado a la longitud del tercer lado (b) multiplicada por sí misma.

Los matemáticos antigüos se dieron cuenta de que es peligrosamente aburrido repetir la frase "multiplicado por sí mismo" muchas veces, asi que decidieron llamar a esta acción "elevar al cuadrado" o simplemente "... al cuadrado", que parece ser bastante más sofisticada.

¿Por qué cuadrado?

Quizas sepan que para calcular la superficie (metros cuadrados) de una cancha de futbol basta con multiplicar su longitud por su ancho. Si tenemos una cancha de futbol cuadrada (su ancho es igual a su longitud) entonces basta multiplicar uno de sus lados (da igual cuál porque son iguales) por sí mismo.

Además de cambiarle el nombre a las cosas, los matemáticos también se dedican a "demostrar" los teoremas. ¿Qué significa esto?

Creer vs preguntar

 

Los matemáticos son personas muy desconfiadas.
Por lo general, cuando un simple mortal lee o le enseñan el teorema de Pitágoras, se lo "cree". Cree que es cierto por alguna razón, ya sea porque confía en la fuente, confía en su profesor o confía en Pitágoras (después de todo, su nombre parece importante). Los matemáticos no se conforman con esto, ellos tienen que "demostrarlo", es decir, de alguna manera probar que es cierto y que vale siempre; en este caso, midan lo que midan los lados del triángulo. Lo interesante es que casi siempre hay infinidad de maneras de probar un mismo teorema o afirmación, lo cual hace que el proceso de demostración sea de lo más creativo.

El teorema de Pitágoras es muy lindo, pero ¿Alguna vez nos preguntamos de dónde viene? ¿Cómo supo Pitágoras que vale? ¿De dónde lo sacó?
La mayoría no lo hace... pero ¿Por qué?

Es más fácil creer.

Bueno, desconfiemos un poco, veamos una forma de convencernos de lo que decía este señor griego.

Tomemos 4 triángulos rectángulos iguales de lados a, b y c, los colocamos dentro del siguiente marco verde y pinto de rojo la parte que no está cubierta.

Notemos dos cosas.
Una es que el área que no cubrimos (roja) es igual a C al cuadrado, porque es la superficie de un cuadrado de lados C.
La otra es que el área dentro del marco verde que no cubrimos con los triángulos (lo rojo) no cambia si movemos los triángulos de lugar sin encimarlos. Es decir, por más que movamos los triángulos, el área roja va a ser siempre C al cuadrado.

Antes de hacer el siguiente paso recordemos que lo que queremos probar es que:

 Bueno, entonces vamos a mover los triángulos 1 y 2 de la siguiente manera:

Fíjense que ahora podemos separar la parte roja en dos cuadrados, uno de lados b y otro de lados a. Entonces el área roja es

Pero habíamos dicho que el área roja era siempre

¡Entonces tienen que ser iguales !

Y esto lo hicimos sin asignar valores a los lados de los triángulos. Simplemente nombramos lados a, b y c, esto nos da la seguridad de que funcinona siempre, para cualquier longitud que le asignemos a los lados del triángulo.

Soy consciente de que, quizas, del otro lado de mi monitor, el lector esté esforzándose y estrujando su cerebro para entender algo de todo lo que leyó, tanto en esta nota como en las pasadas y en las que vendrán. Soy consciente de que, para quien no está acostumbrado a sumar y multiplicar letras en vez de números, captar la idea representa una tarea dificultosa y hasta retorcida. Y también soy consciente de que el cerebro es naturalmente haragán, no le gusta trabajar, no le gusta tener que pensar en las respuestas que uno se hace tan irresponsablemente. Soy consciente de que habría sido más fácil creernos el teorema de Pitágoras...

... así como soy consciente de que es más sencillo quedarse sentado en medio de una habitación oscura que levantarse y prender la luz.