Y despues de dos mil años...

Como mencioné en la nota anterior, el problema de Aquiles y la tortuga no vió solución hasta entrado el siglo XVII cuando un matemático escocés llamado James Gregory hizo algunos importantes descubrimientos en el campo de las sumas infinitas. Lo que este señor vió fue que si uno suma infinitos números positivos no necesariamente la suma da infinito ¡ un duro golpe al sentido común ! Pero ¿qué tiene que ver con la carrera de Aquiles? bueno, resulta que mucho. Para hacer las cosas más claras, pongamos algunas distancias y velocidades concretas.

Supongamos que la carrera es de diez kilómetros, que Aquiles corre al doble de la velocidad de la tortuga (sí, la tortuga va un poco rápido, o quizas Aquiles comió mucho antes de la competencia... cuestión es que los números mucho no importan), y que le da una ventaja de cuatro kilómetros. Bien, entonces, luego de arrancar, cuando Aquiles recorre los primeros 4km ve que la tortuga avanzó 2km, él sigue su marcha y cuando hace 2km más, la tortuga va a haber hecho 1km. Si seguimos este razonamiento, en una tercera instancia Aquiles va a correr 1km y la tortuga alejarse 500 metros, luego Aquiles hará 500m y la tortuga estará a 250m y así sucesivamente.

Lo que decía Zenón era que en todas las infinitas instancias de este proceso Aquiles iba a estar detrás de la tortuga, lo cual es cierto. Lo que el sentido común nos induce a pensar es que, como en cada instancia Aquiles corre un trecho, y las intancias son infinitas, entonces siempre estará corriendo detrás de la tortuga, lo cual es falso. Es decir, si uno suma los metros que hace Aquiles: 4000m + 2000m + 1000m + 500m + 250m + ... (y así eternamente) uno pensaría que, como son infinitos números los que se suman, debería dar infinito. Falso: esa suma da 8km. Pero, ya me perdí ¿qué significa esto? significa que la suma de todos los trechos en los cuales Aquiles está detras de la tortuga suman 8km, o dicho de otra forma, Aquiles va a estar detrás de la tortuga los primeros 8km y los restantes 2km de la carrera va a llevar la delantera.
 
La paradoja de Zenón tiene el error de suponer que una suma infinita de números positivos tiene que dar infinito sin importar qué tan chicos se vuelvan. Les propongo, para terminar de convencerse, que sumen en una calculadora 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... con el siguiente término igual a 1 dividido el doble del que dividía al anterior, en este caso el siguiente sería 1/16. Van a notar que siempre les va a dar un número más chico que 2 pero siempre acercándose un poco más.  Daría 2 si tuviéramos el tiempo de sumar infinitamente todos esos números.

Gregory finalmente le dió la razón a Aquiles