Persas, árboles y cuentas rápidas

Es mi caso, como el de muchas personas más, que siempre me costaron (y me aburrieron) las tablas de multiplicar. En la escuela solían pretender que me memorizara la tabla del 7: 7 x 1, 7 x 2, .... hasta 7 x 10. Esto suena muy familiar seguramente, y hay gente que cuando uno dice en voz alta "7 x 9..." responden casi robóticamente "¡ 63 !". Bien por ellos. Pero ¿qué pasa si uno dice "51 x 49..."?  Ahí la cosa cambia, y las respuestas que se pueden llegar a recibir son del tipo "¡ Ni idea !", "¿Por qué me mirás a mi?" o "¿Tengo cara de calculadora?". Pero, si apelamos al pensamiento en vez de a la memoria, nos vamos a dar cuenta que resolver multiplicaciones parecidas a esta es bastante sencillo e incluso se pueden hacer sin necesidad de lapiz y papel, y sólo en cuestión de segundos. Para esto, vamos a pedirle una pequeña mano al álgebra.

El álgebra es, además de una palabra que da miedo, una rama de la matemática que nació con el fin de echar luz sobre algunos problemas más que nada económicos. Su nombre viene del título de un libro que escribió un persa llamado Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Al Juarizmi para los amigos) en el siglo IX. El libro se llamaba "Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala". Algo así como "Compendio de cálculo por compleción y comparación" y nos sirve, en este caso, para contar árboles.


¿¡ Para contar árboles !?
Sí. Eso dije.

Supongamos que Andrés tiene un jardín con 3 hileras de 3 árboles cada una que forman un cuadrado y Beatriz tiene un jardin con 2 hileras de 4 árboles cada una que forman un rectángulo, es decir una hilera menos pero con un árbol más en cada una como se ve en la imagen de abajo.

Vista satelital del jardín de Andrés (izquierda) y el de Beatriz (derecha).

Pero Beatriz quiere tener un cuadrado de 3 x 3 como el de Andrés entonces decide transplantar el último árbol de cada hilera y con esos hacer una hilera nueva pero se da cuenta rápidamente que le va a faltar un árbol para completar el cuadrado.

Esto quiere decir que 2 x 4 es uno menos que 3 x 3. Lo cual no es ninguna novedad, ya que 2 x 4 = 8 y 3 x 3 = 9. Pero lo (quizas) novedoso es que esto vale con cualquier cantidad de árboles, es decir, si Andrés tiene un jardin con 5 hileras de 5 árboles cada una y Beatriz tiene un jardín con una hilera menos pero cada hilera tiene un árbol más, entonces Beatriz tiene un árbol menos que Andres. Y de hecho: 5 x 5 = 25 y 4 x 6 = 24. ¡ Opa ! Si tienen una calculadora a mano lo pueden probar, por ejemplo: 45 x 45 = 2025 y 44 x 46 = 2024. Luego, si uno sabe cuánto dan algunos números multiplicados por sí mismos entonces se puede ahorrar muchas cuentas, por ejemplo, uno quizas sabe que 20 x 20 es 400 ¡ pero entonces sabe que 19 x 21 es 399 !

Ahora, cuando uno pregunta cuánto es 49 x 51 por lo general nadie va a saber, bueno, pero 50 x 50 no es tan dificil, es 2500 ¡ Gracias Al Juarizmi !